Notasi: A
Å B = (A È B) – (A Ç B) = (A – B)
È (B – A)
TEOREMA 2.
Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A Å B = B Å A
(hukum
komutatif
(b) (A
Å B ) Å C = A Å (B Å C
)
(hukum asosiatif
f.
Perkalian Kartesian (cartesian)
- A ´ B = {(a, b) ½ a Î A dan b Î B }
Catatan:
- Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:
½A ´ B½
= ½A½ . ½B½.
- (a, b) ¹ (b, a).
- A ´ B ¹ B ´ A dengan syarat A atau B tidak kosong.
4.
Jika A = Æ atau B = Æ, maka A ´ B = B ´ A
= Æ
Hukum-hukum
Himpunan
ž
Disebut juga sifat-sifat (properties) himpunan
ž
Disebut juga hukum aljabar himpunan
Prinsip
Dualitas
ž
Prinsip dualitas à dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan namun
tetap memberikan jawaban yang benar.
Prinsip
Inklusi-Eksklusi
Untuk dua
himpunan A dan B:
½A È B½
= ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½
½A Å B½
= ½A½ +½B½ – 2½A Ç B½
Partisi
Partisi dari
sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1,
A2, … dari A sedemikian sehingga:
(a)
A1 È A2 È … = A, dan
(b)
Ai Ç Aj = Æ untuk i ¹ j
Himpunan
Ganda (multiset)
- Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).
Contohnya,
{1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.
- Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.
- Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.
- Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.
Pembuktian
Proposisi Perihal Himpunan
- Proposisi himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.
- Proposisi dapat berupa:
- Kesamaan (identity)
Contoh:
Buktikan “A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A
Ç C)”
- Implikasi
Contoh:
Buktikan bahwa “Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka selalu berlaku bahwa A Í
C”.
1.
Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn
2.
Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan
3.
Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.
4.
Pembuktian dengan menggunakan definisi
Tipe Set
dalam Bahasa Pascal
Bahasa
Pascal menyediakan tipe data khusus untuk himpunan, yang bernama set. Tipe set
menyatakan himpunan kuasa dari tipe ordinal (integer, character).
Contoh:
type
HurufBesar =
‘A’..‘Z’;{ enumerasi }
Huruf = set
of HurufBesar;
var
HurufKu :
Huruf;
Nilai untuk
peubah HurufKu dapat diisi dengan pernyataan berikut:
HurufKu:=[‘A’,
‘C’, ‘D’];
HurufKu:=[‘M’];
HurufKu:=[];
{ himpunan kosong }
