Tugas wajib SD minggu 10

Operasi Pada Himpunan

Notasi: A Å B = (A È B) – (A Ç B) = (A – B) È (B – A)

TEOREMA 2.  Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

(a) A Å B = B Å A                                          (hukum komutatif

(b) (A Å B )  Å C = A Å (B Å C )                   (hukum asosiatif

 f.    Perkalian Kartesian (cartesian)

• A ´ B = {(a, b) ½ a Î A dan b Î B }

Catatan:

1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:

½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.

1. (a, b) ¹ (b, a).
2. A ´ B ¹ B ´ A  dengan syarat A atau B tidak kosong.

4.  Jika A = Æ atau B = Æ, maka A ´ B = B ´ A =  Æ

Hukum-hukum Himpunan

ž  Disebut juga sifat-sifat (properties) himpunan

ž  Disebut juga hukum aljabar himpunan

Prinsip Dualitas

ž  Prinsip dualitas à dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Prinsip Inklusi-Eksklusi

Untuk dua himpunan A dan B:

½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½

½A Å B½ = ½A½ +½B½ – 2½A Ç B½

Partisi

Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A₁, A₂, … dari A sedemikian sehingga:

(a)                A₁ È A₂ È … = A, dan

(b)               A_i Ç A_j = Æ untuk i ¹ j

Himpunan Ganda (multiset)

• Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).

Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.

• Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda.  Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.

• Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.

• Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.

Pembuktian Proposisi Perihal Himpunan

• Proposisi himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.
• Proposisi dapat berupa:

1. Kesamaan (identity)

Contoh: Buktikan “A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)”

1. Implikasi

Contoh: Buktikan bahwa “Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka selalu berlaku bahwa A Í C”.

1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan

3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.

4. Pembuktian dengan menggunakan definisi

Tipe Set dalam Bahasa Pascal

Bahasa Pascal menyediakan tipe data khusus untuk himpunan, yang bernama set. Tipe set menyatakan himpunan kuasa dari tipe ordinal (integer, character).

Contoh:

type

HurufBesar = ‘A’..‘Z’;{ enumerasi }

Huruf = set of HurufBesar;

var

HurufKu : Huruf;

Nilai untuk peubah HurufKu dapat diisi dengan pernyataan berikut:

HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’];

HurufKu:=[‘M’];

HurufKu:=[];    { himpunan kosong }